Odstępy między nutami są „równe” nie w tym sensie, że różnica w Hz między nimi jest taka sama, ale stosunek a między nimi jest taki sam. Powiedzmy, że g jest o jeden półton wyższy niż f , a następnie g = af .

  Uwaga Stosunek Hz a do poprzedniej notatki zaokrąglone do 3 miejsc po przecinku A4 440,00 A 4 466,16 1,059 (466,16 / 440,0 = 1,059 i tak dalej w dół kolumny) B4 493,88 1,059C5 523,25 1,059C # 5 554,37 1,059D5 587,33 1,059D # 5 622,25 1,059E5 659,25 1.059F5 698.46 1.059F # 5739.99 1.059G5 783.99 1.059G # 5 830.61 1.059A5 880.00 1.059  

Łatwiej będzie zrozumieć, kiedy pomyślisz o częstotliwości oktaw. Liczba Hz między oktawami jest różna (220, 440, 880, 1760 itd.), Ale stosunek 2: 1 jest zawsze taki sam. To samo dotyczy nut w skali.

Matematycznie to, co robimy, to dzielenie oktawy (stosunek 2: 1) na 12 równych kroków (równych proporcjach, tj. a ^ 12 = 2 ). Korzystając z kalkulatora naukowego, możemy obliczyć a = 2 ^ (1/12) = 1,0594630943592952645618252949463 , co jest (prawie) dokładnym stosunkiem między dwoma połowicznymi krokami.

Podział nut ma związek z ludzką percepcją i psychoakustyką. Jednym z opisów ludzkiej percepcji jest prawo Webera-Fechnera, zgodnie z którym człowiek dostrzeże jednakowe zmiany w niektórych bodźcach sensorycznych, takich jak poziom lub wysokość dźwięku, nie na podstawie poziomu bezwzględnego lub różnicy wartości, ale przez stosunek zmian. na przykład większe wartości wymagają proporcjonalnie większej zmiany, aby zmiana była postrzegana (jeśli jest niewielka) lub postrzegana jako mniej więcej taka sama, w pewnym rozsądnym zakresie (np. słyszalna, ale nie powodująca uszkodzenia ucha itp.)

Zatem dla półton (czwarty, piąty itd.), aby brzmiał tak samo, bez względu na to, od której nuty bazowej się zacznie, w skali jednakowej temperamentu nuty muszą różnić się nie równymi bezwzględnymi różnicami częstotliwości (jak powstałyby przy równych Hz delty między nutami), ale przez równe różnice współczynników (dwunasty pierwiastek z 2, tak aby dwanaście równych mnożeń równało się jednej oktawie).

np. „równość” w równym podziale musi mieć równy stosunek, a nie addytywną wartość bezwzględną.

Co się stanie, jeśli zejdziesz w dół tymi samymi krokami:

• 440Hz
• 1 stopień w dół: 403,33Hz
• 2 stopnie w dół: 366,67 Hz
• 3 stopnie w dół: 330.Hz
• ...
• 11 stopni w dół: 36,67 Hz
• 12 stopni w dół: 0 Hz
• 13 stopni w dół: -36,67 Hz

Tak więc, używając logiki „równo podzielonych”, mamy zero Hz po 12 krokach , a następny krok dalej to minus 37 Hz! Co to w ogóle znaczy? Ale ok, podążajmy trochę za twoją logiką ... jaka jest dokładnie częstotliwość w środku oktawy 440 - 880 Hz, czyli 660 Hz. Jaka jest oktawa powyżej? To byłoby 2 * 660 Hz = 1320 Hz. Jakie byłyby kroki w tej oktawie - 660 Hz / 12 = 55 Hz? Ok, więc zróbmy jeden krok w górę od 660 Hz, czyli 660 Hz + 55 Hz = 715 Hz. Ale zaraz ... krok miał być 37 Hz, a nie 55 Hz ??? Czy rozmiar twojego kroku zależy od początku i końca oktawy? A może wymaga nagłego skoku przy 880 Hz - kroki poniżej 880 to 440/12, ale powyżej 880 będą to 880/12? Skąd taki podział, czy jest osadzony w naturze? Myślałem, że A = 440 Hz to tylko uzgodniona konwencja, a nie prawo natury.

Skąd masz 880 Hz? Mnożąc przez 2, czyli jedną oktawę wyżej. Myślę, że to samo dotyczy każdej częstotliwości, nie tylko 440 Hz? Na przykład o jedną oktawę wyżej od 880 Hz musi być 880 Hz * 2? I każda inna częstotliwość, jak 1000 Hz ... jedna oktawa powyżej, która musi wynosić 2000 Hz. Jeśli interwał oktawy jest obliczany przez pomnożenie, jak można obliczyć inne przedziały z dodawaniem?

Zatem zadaj sobie pytanie: jeśli F1 i F2 są częstotliwościami dwa kolejne półtony, jaki jest związek między F1 i F2, jeśli (F1 * 2) i (F2 * 2) muszą mieć tę samą zależność?

Szukasz funkcji f (F) takie, że f zastosowane 12 razy daje 2 * F.

 f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (F))))))))))) = 2 * F 

Jeśli podniesiesz o jeden półton od F, otrzymasz częstotliwość f (F). Częstotliwość o oktawę wyższa od tego wynosi 2 * f (F).

Jeśli pierwszy podepniesz o oktawę, otrzymasz F * 2. A jeśli zwiększysz o jeden półton od tego, otrzymasz f (F * 2), które powinno mieć tę samą częstotliwość, więc:

 2 * f (F) = f (2 * F) 

Jaka może być funkcja f ?

Z tematu "dlaczego różnice w hercach to nie to samo, ale element 12. z dwóch?" Zakładam, że już wiesz, że kolejne półtony mają stosunek 2 ^ (1/12).

Prostym sposobem jest przyjrzenie się proporcjom, jak zasugerowano powyżej. Przedział można podzielić równo arytmetycznie tak, aby długość (rozmiar lub bardziej technicznie „miara”) każdego podprzedziału była identyczna. Dzieląc arytmetycznie przedział na 12 części (mogę wyjaśnić 12, ale wymaga to więcej matematyki) daje 1 = 12/12, 13/12, 14/12, 15/12, 16/12, 17/12, 18 / 12, 19/12, 20/12, 21/12, 22/12, 22/12, 24/12 = 2. Jednak słuch ludzi wydaje się (eksperymentalnie) rozróżniać stosunki częstotliwości, a nie różnice, jako bardziej identyczne. Na przykład (biorąc A = 440 cps), piąty powyżej A to E przy 660 cps, a nie 19/12 * 440 = 696,666 ....

Jeśli chcemy równych proporcji dla każdego pół kroku, zamiast ( 2-1) / 12, my 2 ^ (1/12). Chodzi o to, że stosunek G do C jest stały dla wszystkich piątych (A-D, C-F itd.). Od starożytności stosunek kwinta wynosi 3: 2 (lub 3/2 razy częstotliwość niższej nuty). Polega to na podzieleniu struny na interwały i wysłuchaniu częstotliwości dwóch krótszych utworów. (Na marginesie: Vincenzo Galilei zasugerował użycie 18/17 jako przybliżenia dwunastego pierwiastka z dwóch; jest to zadziwiająco dobre.)

Jednak: do pracy obliczeniowej możemy użyć logarytmów; logarytm stosunku jest różnicą w logarytmach składników tego stosunku. Jedna dzieli oktawę na 1200 centów (pierwiastek 1200 z 2) i przypisuje 100 centów do półtonu o równym temperamencie. Pozwala to na łatwe (przynajmniej używając ołówka i papieru zamiast kalkulatora) obliczyć interwał o rozmiarze dostosowanym do różnych strojów.

Tak więc, nawet jeśli nasze uszy słyszą przez współczynnik (eksperymentalnie), możemy obliczyć na podstawie współczynników lub dodatek. Wiki zawiera kilka artykułów qG (quod Google w analogii z qv), które dają bardziej wyczerpujące wyjaśnienie.

Najprościej można na to spojrzeć, patrząc na szyjkę gitary. Oktawa jest tam podzielona na 12 części - równych o tyle, o ile każdy próg jest oddalony o pół tonu od swojego sąsiada. Ale patrząc uważnie, jest dość oczywiste, że każdy próg nie jest tego samego rozmiaru. W rzeczywistości jedenasty próg jest prawie o połowę mniejszy niż pierwszy, od orzecha do progu 1. Idź dalej, a dwunasty (oktawa) jest właściwie o połowę mniejszy od pierwszego.

Twoja hipoteza czy wszystkie miałyby ten sam rozmiar - jedną dwunastą połowy długości otwartego sznurka? Czy tak było, co się stało przy progu 13? Poza tym każdy próg dawał dźwięk, który nie był dostrojony. Musi więc istnieć stosunek każdego niepokoju do sąsiada, jak wskazano w innych dobrych odpowiedziach.

Zacznij od rozważenia równego podziału oktaw na jedną część. Oznacza to, że pomyśl o zmianie wysokości tonu tylko o oktawy.

Jeśli zaczniemy od A1 = 55 Hz, otrzymamy następujące tony:

 Częstotliwość tonacji -------- -------- A1 55 Hz A2 110 Hz A3 220 Hz A4 440 Hz A5 880 Hz ... 

Możesz to zobaczyć, zwiększając tonację o równy dodatek kwota, zwiększasz częstotliwość o równy współczynnik mnożenia . Oznacza to, że za każdym razem, gdy zwiększasz wysokość o jedną oktawę, podwajasz częstotliwość. Oznacza to, że związek między wysokością a częstotliwością jest logarytmiczny.

Stamtąd dość łatwo można dojść do wniosku, że aby podzielić oktawę na pewną liczbę równych części, trzeba znaleźć współczynnik, który po pomnożeniu przez siebie tej liczby razy daje 2. Innymi słowy, współczynnik częstotliwości odpowiadający podziałowi oktawy na n części jest n-tym root of 2.

Nasz system notatek to skala logarytmiczna częstotliwości. Skala logarytmiczna zamienia równe ułamki na równe odległości. Możesz zdefiniować równy temperament jako stałą wielkość kroku 1/12 na skali częstotliwości log_2 .

Wracając do skali liniowej, oznacza, że ​​półton jest tłumaczony na współczynnik 2 ^ (1/12) (dwunasty pierwiastek z dwóch).

Powód jest to takie, że dźwięk interwału zależy od tego, jak pasują do siebie widma alikwotu dwóch węzłów .

Oktawa ma unikalną cechę, że wszystkie harmoniczne wyższej połącz z jakąś harmoniczną niższej nuty. Podobnie, jeśli masz doskonałą kwintę (współczynnik 3/2), co druga harmoniczna górnej nuty pokrywa się z co trzecią harmoniczną dolnej nuty. Podobne relacje zachodzą w przypadku doskonałej czwartej (współczynnik 4/3), burmistrza (5/4) i burmistrza szóstego (5/3). I tak dalej i tak dalej. Wzorzec dopasowania harmonicznych definiuje dźwięk interwału, a harmoniczne są definiowane przez współczynniki częstotliwości .

Zatem do opisu można użyć tylko skali logarytmicznej odstępy czasu (nasz system notatek). W konsekwencji równy temperament musi zostać zdefiniowany w skali logarytmicznej.

Jeśli oktawa jest zdefiniowana w ten sposób:

• podwojenie częstotliwości
• 12 kroków

Dlaczego warto się poruszać od jednego klawisza do drugiego rządzi się inną regułą (tzn. poruszać się po innej krzywej na diagramie X, Y) niż poruszanie się o 12 klawiszy, co jest niczym innym, jak 12-krotnym zastosowaniem reguły od klucza do klawisza? to funkcja, która dyktuje, jak przechodzić od jednego klawisza do drugiego, co jest zdefiniowane przez powyższe terminy. To, co chcesz zrobić, to przejść liniowo od klucza do klawisza, co jest sprzeczne z powyższą definicją. Krzywa nie jest linią. Nie jest definiowana jako dodawanie czegoś, ale podwojenie (mnożenie) na określonej liczbie klawiszy (12). Oktawa powyżej 110 Hz to 220. Ale oktawa powyżej to 440, a nie 330 - nie dodajesz liczby (co dałoby równe kroki), mnożysz (liniowy rozmiar kroku rośnie wraz ze wzrostem).

Stąd, jeśli x jest mnożenie krok od jednego klawisza do drugiego, f to częstotliwość początkowa, a 2 * f to jedna oktawa powyżej:

  f * x * x * ... * x = 2 * f | 12 kroków, czyli 1 (mnożenie) krok zastosowany 12 razy f * x ^ 12 = 2 * f | podziel przez fx ^ 12 = 2 | znajdź xx = 2 ^ (1/12)  

tj. 12. pierwiastek z 2. Zobacz obrazek poniżej: Pomarańczowa krzywa jest zgodna z tą regułą od 110 Hz do 880 Hz, ze wszystkimi półtonowymi krokami pomiędzy. częstotliwości na oktawę, ale również w równych krokach (tj. liniowo) od jednej oktawy do następnej Obie krzywe spotykają się w każdej oktawie: 110, 220, 440, 880 Zobacz, jak ta niebieska linia nie jest zgodna z jedną funkcją wygładzania, ale raczej jest poskładane razem z liniowych segmentów? Nie sądzę, żebyś oczekiwał, że to zabrzmi naturalnie i równomiernie, podnosząc częstotliwość w ten sposób dla półtonów;) Aby płynnie przejść w górę i spełnić "podwojenie częstotliwości na oktawę", twoje półtony muszą znajdować się na tej pomarańczowej krzywej (i oczywiście półtony, takie jak centy, tj. 100 centów również nie są rozmieszczone w równych odstępach)

To kolejna odpowiedź, która ma pomóc zrozumieć również pytanie dla ludzi, którzy nie radzą sobie ze stosunkami i innymi abstrakcyjnymi terminami:

Wyobraź sobie, że masz ton o częstotliwości 12 Hz (struna macha 12 razy / sekunda). Jak należy dostroić 12 półkroków między oktawą (24 Hz), aby różnice między wszystkimi półkrokami były równe?

Pytanie implikuje: Jeśli zakres między oktawami wynosi 12 Hz, dlaczego różnica między 12 półkrokami nie zawsze jest tylko 1 Hz?

root = 12Hz

mała sekunda 13 Hz

duża sekunda 14 Hz

.

.

.

.

Idealna piąta 18 Hz

.

.

.

Siódma wielka: 23 Hz

oktawa: 24

Widzimy, że różnica między pierwszą połowa 12 Hz i 13 Hz to zaledwie 1/10 z 12 Hz (10% całej oktawy), podczas gdy dodatkowa różnica między oktawą 24 Hz a poprzednim półtonem (23 Hz) byłaby prawie tylko 1/20 (= 5%) różnica między kolejnym górnym półtonem powyżej oktawy będzie 2 Hz więcej - ponieważ musi to być 1/10 następnej oktawy 48 Hz, ponieważ różnica między okatawą „(24 Hz) a oktawą” (48 Hz) wynosi 24 Hz! (48-24 = 24), a pół kroku 1/12 między oktawą a oktawą będzie równe 2?

Z tego możemy wywnioskować, że różnice między pół krokami nie są dodatkowe o 1 / 12, ale proporcjonalnie, mnożąc każde pół kroku przez 1/12.

Mam nadzieję, że to nie jest brzęczące i mylące. TLDR?

Podwyższenie oktawy nie oznacza dodania 440 Hz; oznacza raczej pomnożenie przez 2. Za każdym razem, gdy idziesz o pół tonu w górę, mnożysz o tę samą wartość; nie dodajesz tej samej kwoty.