To jest tak przesadzone, że nie ma znaczenia z jakichkolwiek praktycznych powodów. Długość fali najwyższego dźwięku, jaki ludzie słyszą, wynosi około 16 mm. To około 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 razy więcej niż długość fali Plancka, tj. Odległość, jaką pokonuje światło w jednej jednostce czasu Plancka.

Nawet biorąc pod uwagę przybliżenia dokonane przez obecne systemy komputerowe (na przykład, reprezentujące liczby w przybliżeniu „tylko” około 16 cyfr precyzji) narastające błędy synchronizacji byłyby ledwo zauważalne w utworze muzycznym trwającym milion lat.

W rzeczywistości najpowszechniejszym zastosowaniem „irracjonalnych sygnatur czasowych” w teorii muzyki nie są w ogóle liczby matematycznie nieracjonalne - są to po prostu ułamki z mianownikami, które nie są potęgami dwóch, na przykład 4/3 (co oznacza długość taktu to ćwierćnuta - 3/3 - plus jedna nuta z trioli ósemek.)

Po prostu się popisuje.

Jest kilka głównych powodów, dla których to, co opisuje, nie ma znaczenia. Nuty to przede wszystkim przewodnik . Właściwie to nie jest muzyka. Zawsze oczekuje się, że będziesz wnosić własne doświadczenie w notatki, zanim zostaną nazwane muzyką. Dlatego nigdy nie chciałbyś odtwarzać dokładnej transkrypcji czarnego tonera na stronie. To nie byłaby muzyka.

Poza tym udawajmy, że chcesz zagrać taki utwór. Teoretycznie nie możesz, ponieważ nie możesz właściwie rozegrać irracjonalnych proporcji. Ale czy możesz zagrać dowolną piosenkę? Okazuje się, że według tego standardu nie możesz. Powiedzmy, że chcesz zagrać ćwierćnutę przy 100 BPM. Powiedzmy, że chcesz zagrać A. 100BPM to 0,6 sekundy na ćwierćnutę. Częstotliwość A wynosi 440 Hz, więc w ćwierćnucie miałbyś 264 oscylacje. Teraz zagrajmy w B. B wynosi 493,88 ... Hz. Ups. Teraz potrzebuję 296,328 ... oscylacji. Ale jeśli zatrzymam się w tym miejscu, tak naprawdę nie jestem na końcu cyklu. Muszę użyć „funkcji okienkowania”, aby zatrzymać nutę, gdy jej amplituda nie jest równa 0. Powoduje to uwolnienie nieskończonej serii harmonicznych. To już nie jest czyste B.

Więc jeśli spróbuję trzymać się standardów przedstawionych w tym filmie, mogę zagrać ćwierćnutę A przy 100 BPM, ale nie mogę zagrać ćwierćnuty B. Wyznaczone standardy są po prostu zbyt wysokie, aby pozwolić na zagranie B.

Więc idź tam i graj prawdziwą muzykę, używając nut jako przewodnika. Stała Planka, liczba Avagadro i wszystkie inne przydatne liczby w nauce będą tam, aby cię wspierać.

Spójrzmy na to jeszcze raz:

Czy podpisy czasu w muzyce mogą być naprawdę racjonalne

Które d odpowiedź: nie, nie do końca . Racjonalność jest pojęciem matematycznym zależnym od dokładnego, aksjomatycznego pojęcia liczb. Teraz z pewnością każdy zwykły utwór muzyczny będzie używał racjonalnego podpisu podanego przez liczby całkowite na papierze lub w używanym programie DAW. W tych kompozycjach czas jest koncepcyjnie podzielony w racjonalny sposób.

Ale czy na poziomie konceptualnym naprawdę jest muzyka ? Nie byłbym pewien. Dla słuchacza muzyka to przede wszystkim wahania w polu ciśnienia atmosferycznego . Nasze mózgi wykonują niezwykłą robotę polegającą na ponownym rozkładaniu tego bałaganu ... zauważą, że są pewne indywidualne głosy. Dostrzegą, że te głosy są w jakiś sposób zsynchronizowane, że są jakieś skale powtórzeń itp. Jeśli coś wiedzą o muzyce, to zazwyczaj będą mogli również z tego ponownie odgadnąć, jakie liczby na kartce zapisał kompozytor.
Nie jest to jednak do końca obiektywny, powtarzalny proces. Po dokładnym zbadaniu dowiesz się, że każdy występ człowieka ma charakterystyczne dla niego niewielkie wahania tempa itp. I, co może być bardziej zaskakujące, nawet czysto elektroniczny, „dokładny” utwór sekwencyjny, analizowany z miksu audio, będzie wydawał się mieć takie fluktuacje w znacznie mniejszej skali. Powód jest w rzeczywistości matematycznie podobny do kwantowo-mechanicznej relacji niepewności Heisenberga ^† : za każdym razem, gdy pakujesz informacje w dowolne fale (czy to elektromagnetyczne fale radiowe, czy akustyczne fale dźwiękowe) , musisz dokonać kompromisu między dokładnością częstotliwości a dokładnością czasową . Dokładnie rzecz biorąc, stany nieustalone w sygnale o częstotliwości- szerokości pasma f_U mogą mieć dokładność czasową co najwyżej ≈ ¹⁄_fU .

Ludzki słuch ma szerokość pasma <20 kHz. Sygnały z tego zakresu mają w zasadzie pewność czasową co najwyżej 50 μs. W rzeczywistości ludzie mogą określić czas sygnału tylko do około 3 ms ... ale niezależnie od dokładnych liczb istnieje w zasadzie ograniczenie precyzji. Dlatego nigdy nie będzie możliwe obiektywne odróżnienie utworu w ⁴ ⁄ ₄ raz w ^4,00000001 ⁄ ₄ , a właściwie z irracjonalnego ^{cosh (2.0634371)} ⁄₄.

Dlaczego więc nadal możemy być pewni, że dany kawałek jest w czasie ⁴ ⁄ ₄ , a nie ^{cosh (2.0634371)} ⁄ ₄ ? brzytwa Ockhama. Najprostszym możliwym modelem, który pasuje - w ramach dostępnej dokładności - do obserwowanych danych, jest ten, który przybliża nas do zrozumienia tego, co się dzieje .

Teraz jest interesujący szczegół: co czy mam na myśli „ najprostszy możliwy model”? Prostoty tak naprawdę nie da się zdefiniować, dla każdego człowieka jest inaczej, co wydaje się proste, a co wydaje się skomplikowane. W teorii informacji istnieje coś, co nazywa się złożonością Kołmogorowa. Jest to trudna ilość, w rzeczywistości nie można jej obliczyć - ale nadal jest dobrze zdefiniowana i może być przyzwoicie przybliżona przez najkrótszy program, który ktoś wyśle ​​do danego wyzwania na CodeGolf.StackExchange .

Na przykład ⁴ ⁄ ₄ ma złożoność maksymalnie trzech znaków lub 24 bitów, podczas gdy sama liczba 2.0634371 ma złożoność co najmniej 30 bitów.

Ale są przykłady, które są mniej jednoznaczne. W szczególności istnieją pewne irracjonalne liczby, których złożoność powinniśmy uznać za raczej niewielką. Liczba π ma złożoność podobną do jednego znaku, podczas gdy wymierna 3.1416 ma już ponad 16-bitową złożoność.

Dlatego uważałbym, że kawałek w ^π ⁄ ₄ powinien być rozważany jako ^π ⁄ ₄ raz, a nie ³⁹²⁷⁄₅₀₀₀.

Czy metryki muzyczne mogą być naprawdę irracjonalne?

Tak, mogą , pod każdym względem, że pojęcie metrum może mieć w ogóle sens.

^{† _{Te efekty niepewności w rzeczywistości mają niewiele wspólnego z fluktuacjami kwantowymi, fizycznie - są po prostu matematycznie analogiczne, ale fizyka to tylko mechanika klasyczna.
Teoretycznie rzecz biorąc, kwantowa Mechanika nakłada jeszcze bardziej fundamentalne ograniczenie na to, jak dokładnie możemy mierzyć czas: czas-niepewność razy energia-niepewność muszą być większe niż stała Plancka. (Można to postrzegać jako powód, dla którego eksperymenty z zakresu fizyki cząstek elementarnych muszą włożyć tak ogromne energie: niektóre z badanych tam cząstek mają niezwykle krótki czas życia, który można rozwiązać jedynie poprzez dopuszczenie ogromnych fluktuacji energii. )
W odniesieniu do muzyki istnieje niepewność energetyczna co najmniej średniej energii cieplnej, jaką mają cząstki w temperaturze ciała: Δ E ≥ k · Δ T = k · 37 ° C = k · 310 K ≈ 4,3 × 10 -21 J. Jeśli obliczysz na tej podstawie niepewność czasową, otrzymasz 1,5 × 10 -13 s. Otóż, to jest skala czasu, którą możemy faktycznie rozwiązać za pomocą zaawansowanego technologicznie sprzętu (np. lasery femtosekundowe), znacznie dłuższa niż czas Plancka. Ale wciąż jest o wiele rzędów wielkości mniejsza niż niepewność czasowa z powodu klasycznych efektów, które omówiłem powyżej.}}

Czy metrum muzyki może być naprawdę irracjonalne?

Warto zauważyć, że termin irracjonalny metrum używa „irracjonalny” w inny sens niż zwykłe znaczenie matematyczne. https://en.wikipedia.org/wiki/Time_signature#Irrational_meters.

Inną rzeczą jest to, że nie myślę , że powszechnie rozumiany sposób zapisywania muzyki przy użyciu standardowej notacji w metrum, który był irracjonalny w normalnym, matematycznym sensie. Mogę się mylić, ale przez resztę mojej odpowiedzi będę mówić o irracjonalnych stosunkach czasu „w ogóle”.

„irracjonalne jednostki czasu nie mogą istnieć z powodu stałej Plancka”

Mogą istnieć „koncepcyjnie” i być reprezentowane w liczbach. Może nie być możliwe, aby coś się wydarzyło przez tak długi czas - pozwolę fizykom się o to spierać!

.... dlatego też metrum muzyczne takie jak 2: sqrt2 nie może być doskonale wykonane w prawdziwym świecie

Myślę, że to stwierdzenie wprowadza w błąd z dwóch powodów.

Po pierwsze, Nawet gdyby nasza rozdzielczość czasowa była ograniczona przez czas Plancka, to nadal moglibyśmy idealnie zagrać utwory, których długość zdarzenia byłaby dokładną wielokrotnością czasu Plancka.

Po drugie, w naszym prawdziwym świecie rozdzielczość czasowa jest ograniczona na różne sposoby, które nie są związane z czasem Plancka - więc czas Plancka nie byłby w rzeczywistości czynnikiem ograniczającym w wielu (lub jakiekolwiek?) sytuacje w świecie rzeczywistym.

Czy to oznacza, że ​​ilekroć utwór muzyczny z irracjonalnym metrum jest wykonywany za pomocą środków elektronicznych lub pianina, to naprawdę dzieje się po prostu bardzo dobrym racjonalnym przybliżeniem podpisu? tj. gdyby podpis był pi: 1, to naprawdę byłoby to coś w rodzaju 3927: 1250?

Cóż, to prawda, że ​​komputer cyfrowy będzie musiał przedstawiać liczbę niewymierną z racjonalnym przybliżeniem. Jednak to przybliżenie mogłoby być tak dokładne, jak to konieczne - mogłoby być nawet znacznie dokładniejsze niż rozdzielczość czasu Plancka!

Jest źle.

Czas Plancka nie jest „tyknięciem” we wszechświecie; zdarzenia nie są wyrównane do granic znaczników. Jest to raczej czas trwania , który jest najmniejszym, który można zmierzyć jako przed lub po innym czasie.

Jeśli zmierzysz czas jakiegoś wydarzenia, będzie niepewność co do dokładnego pomiaru. Najściślejszym możliwym pomiarem (gdy wartość sprzężona jest całkowicie niepewna) jest czas Plancka.

Zatem mając utwór muzyczny o skończonej długości, rysujesz swoje nuty i miary za pomocą rozmytych linii mam dla nich pewną tolerancję. Następnie możesz zawsze wybrać liczbę wymierną taką, aby potrzebne punkty czasowe, w których rysujesz linie teoretyczne, zawsze mieściły się w granicach tolerancji mierzonych linii.

Jako praktyczna odpowiedź: przy całkowicie skomputeryzowanej muzyce (prawdopodobnie nie w tradycyjnych programach DAW, które próbują uchronić Cię przed „złymi decyzjami” takimi jak ten), możesz wymyślić muzykę, która nie jest technicznie irracjonalna, ale tak bliska to, ludzkie ucho z pewnością nie potrafiłoby odróżnić różnicy (np. gdybyś chciał pi / 4, może z łatwością dać ci 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510 / 4). Niezależnie od tego, czy chcesz to zrobić, zostawiam Twojej artystycznej wizji.

Zabawne pytanie.

Bardziej istotna od stałej Plancka jest, jak wspomniano po lewej stronie, zasada nieoznaczoności Heisenberga: nigdy nie można było zmierzyć utworu muzycznego wystarczająco dokładnie, aby stwierdzić, czy metrum jest irracjonalne.

Jest też problem matematyczny. Nawet jeśli przeniesiemy się do wszechświata snu, w którym przestrzeń i czas są nieskończenie podzielne, możliwe są dokładne pomiary i żyjemy wiecznie; nadal nigdy nie mogliśmy powiedzieć, czy utwór muzyczny był w czasie π / 4, czy tylko w bardzo bliskim, racjonalnym przybliżeniu.

Nieracjonalne liczby pojawiają się w muzyce gdzie indziej: interwały. W właśnie temperowanej skali idealna piąta ma współczynnik częstotliwości 1,5. Zatem kształt fali doskonałej kwinty będzie się powtarzał co 2 długości fali dolnej nuty. W dobrze temperowanej skali interwał (we wszechświecie snu, o którym właśnie wspomniałem) miałby stosunek 2 ^ (7/12), co jest nieracjonalne. Zatem jego przebieg nigdy się nie powtórzy. Zacznie wyglądać bardzo podobnie do hartowanej, doskonałej kwinty, ale stopniowo faza obu nut się zmieni. To się nigdy nie powtórzy, ale będzie arbitralnie bliskie.

Topo morto wspomina o irracjonalnych miernikach, co było dla mnie interesujące i nowe. Nie są one irracjonalne w sensie matematycznym; po prostu nie mają mianownika, którym jest potęga 2, jak zwykle. Mimo że jestem matematykiem, ta terminologia mnie nie denerwuje: nie czuję potrzeby narzucania matematycznych definicji terminów innym dyscyplinom. W każdym razie, nawet w matematyce, terminy mogą być definiowane zupełnie inaczej w różnych kontekstach lub w zależności od autora.

Odniesienie `` stała Plancka '' jest po prostu wrzucone, aby zabrzmieć mądrze, aby olśnić nas nauką.

Wydaje się, że kompozytorzy eksperymentalni używają niestandardowych metrum do wskazania zależności tempa - coś takiego trzy pięcioraczki ósemki w starym tempie dodają się do półnuty z podwójną kropką w nowej. I tylko trochę przesadzam!

Moje odczucie jest takie samo, jak wtedy, gdy CERN odkrywa kolejną fundamentalną cząstkę - tak, twoja analiza może zbliżyć się do wyjaśnienia zaobserwowanych faktów, ale MUSI istnieć prostszy sposób, aby opisz to!

Generalnie kompozytor stara się ułatwić graczowi zrozumienie i grę. Sygnatury czasowe, takie jak 3927/1250 z pewnością nie byłyby używane w zwykłej muzyce, ponieważ

1. niepotrzebnie komplikuje sprawę
2. Jest nie ma potrzeby
3. To sprawia, że ​​gra jest niezwykle trudna lub niemożliwa dla gracza (dlatego do odtwarzania potrzebny jest elektryczny program muzyczny)

Wreszcie, bez względu na licznik metrum jest, mianownik musi być potęgą 2. Dzieje się tak, ponieważ 1 reprezentuje półgłówkę, 2 reprezentuje półgłówkę, 4 reprezentuje ćwierćnutę, 8 reprezentuje ósemkę, 16 reprezentuje szesnastkę, a i tak dalej.

Ponieważ muzyka eksperymentalna czasami ignoruje te zasady, mogą one zawierać niektóre z tych egzotycznych metrum, ale cały cel by pasowały do ​​tematu eksperymentowania. Jednak wszyscy używaliby oprogramowania elektronicznego. Chociaż irracjonalne jednostki czasu (dla skrajnych eksperymentatorów) nie istnieją z powodu stałej Planka, jak wspomniano w filmie, oczywiście jeden eksperymentator mógłby opracować fragment z przybliżeniem liczby niewymiernej.

Tam to jakaś muzyka z nieliczbowymi licznikami w metrum, jednak są one łatwe do zrozumienia i łatwe do odtworzenia.

Na przykład metrum (4 1 / 2) / 4 (oczywiście bez nawiasów) dyktuje takty czterech ćwierćnut, a następnie ósemki. Przykładem utworu wykorzystującego to jest Touch Piece , na fortepian, autorstwa Gardner Read.

Co ciekawe, nikt nie myśli o tym, co oznaczają dwie liczby w metrum. Druga nuta mówi nam, która nuta to 1 miara. Pierwsza liczba mówi nam, ile uderzeń jest w jednym takcie, tak więc metry 2: 4, 2: 8 2:16 są takie same. Oczywiście również 2: 3 oznaczałoby ten sam metr, a ostatecznie nawet 2: Sqrt (2) to ten sam metr.

Jeśli chcemy nieracjonalnego metrum, pierwsza liczba musi być liczbą niewymierną. / p>

Teraz zróbmy przykład z irracjonalnym metrum: Sqrt (2): 4, z tempem 60bpm. Tak więc jeden słupek ma długość Sqrt (2) sekundy - co ma sens. Btw .: Stała Plancka nie ma nic wspólnego z tym problemem.

Podsumowanie: Istnieją irracjonalne sygnatury czasowe.