Jest to bardziej zrozumiałe, gdy myślisz o tym w kategoriach długości ciągu. Ignorując przez sekundę, że struny muszą mieć minimalną długość, aby wibrować, możemy wytworzyć pełną oktawę na pierwszej połowie dowolnej długości struny. Otwórz na nutę „podstawową”, środek na oktawę, jedną trzecią wysokości na piątą itd.

Na gitarze masz pierwszą połowę struny na oktawę. Następnie w drugiej połowie masz kolejną połowę (ćwierć) na kolejną oktawę. Potem kolejna połowa pół połowy (ósmej), aby zrobić następną oktawę. Za każdym razem masz tylko połowę miejsca na oktawę. Zatem każdy próg musi być o połowę mniejszy od progu o oktawę niższy.

Odzwierciedla to mój komentarz powyżej: Przy zachowaniu współczynników częstotliwości bezwzględne różnice częstotliwości zmieniają się o współczynnik 2 i jest to reprezentowane w fizycznych progach.

Ponieważ częstotliwość w odniesieniu do wysokości jest wykładnicza, a nie liniowa.

Wykładnicza (częstotliwość podwaja się dla każdej oktawy - każda wyższa oktawa idealnie pasuje do niższej z najmniejszą możliwe zakłócenia - stosunek 2: 1):

 A3: 220hzA4: 440hzA5: 880hz 

Liniowy (ta sama wartość dodawana do każdej kolejnej częstotliwości, dzięki czemu górna nuta stosunek 3: 2 z poprzednią - znacznie więcej zakłóceń niż oktawa):

 A3: 220 Hz A4: 440 Hz'A5 ': 660 Hz - ** nie ** 

W rzeczywistości to 660 Hz byłoby tylko intonacją piątym powyżej A4 lub E5.

Progi arytmetycznie zbliżają się do siebie (ich bezwzględna odległość maleje). Ale nie zbliżają się geometrycznie pod względem odległości od mostu.

Jeśli weźmiesz odległość od mostu do dowolnego progu (nazwij to X), a także odległość od mostu do następnego wyżej niżej (nazwij to Y), wtedy stosunek X / Y jest taki sam, niezależnie od tego, czy X i Y są progami 2 lub 1, czy progami 20 i 19.

Ten stosunek daje stosunek częstotliwości, który odpowiada do półtonu (o równym temperamencie). Jest to 2 ^1/12 , czyli około 1,0595. (Dwa oznaczają, że częstotliwość podwaja się na oktawę, a 1/12 oznacza pół kroku z potencjalnej dwunastki w oktawie.)

Progu 19 jest 1,0595 razy dalej od mostka niż próg 20 .

Progu 1 jest 1,0595 razy dalej od mostka niż progu 2.

Ten współczynnik 1,0595 jest również stosunkiem częstotliwości. Jeśli znasz częstotliwość jakiejś danej nuty, na przykład A = 440 Hz, możesz dowiedzieć się, jaka jest częstotliwość A #, jeden półton wyżej. Po prostu pomnóż 440 x 1,0595 = 466,18. A # powyżej 440A ma częstotliwość około 466,2.

W oktawie jest 12 półtonów. Jeśli pomnożymy liczbę przez 1,0595 i zrobimy to jeszcze 11 razy, otrzymamy około dwukrotną liczbę pierwotną. Możesz to wypróbować na swoim kalkulatorze. Wpisz 1 X 1.0595. Następnie naciśnij klawisz = 12 razy. Powinieneś otrzymać liczbę bardzo bliską 2.

Dla wszystkich zainteresowanych wspólny stosunek między progami byłby dwunastym pierwiastkiem z 2.

Co ciekawe, wszystkie odpowiedzi całkowicie mijają się z celem. Wszyscy jako przyczynę podają wykładniczy wzrost częstotliwości („podwajasz częstotliwość dla każdej oktawy”), ale to jest czerwony śledź.

Nawet jeśli częstotliwości kolejnych tonów rosną liniowo, progi wyższych dźwięków byłyby jeszcze bliżej siebie.

Rzeczywistym powodem tego jest to, że długość wibrującej struny jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości wytwarzanego przez nią dźwięku . To bardzo proste fizyczne wyjaśnienie jest odpowiedzią na pytanie.

Biorąc pod uwagę dwie "następujące po sobie" częstotliwości f1 i f2, odległość między dwoma progami jest proporcjonalna do (1 / f1-1 / f2) lub (f2 -f1) / (f1 * f2) .

Więc nawet jeśli (f2-f1) były stałe (tj. częstotliwości rosną liniowo) lub wprost rosną , mianownik (f1 * f2) nadal rośnie bardzo szybko, gdy f1 i f2 idą wyżej, co oznacza, że ​​niezależnie od tego, jaką formułę wybierzesz na częstotliwości, odległość między progami będzie mniejsza.