Ze względu na przyszłych czytelników chciałbym zsyntetyzować pełną odpowiedź na pytanie, aby nie była ona tylko ukryta w linku wewnątrz komentarza.

1.

Jak sugeruje odpowiedź Roberta Finka, odpowiedź TL; DR na pytanie brzmi tak, ostatni heksachord dowolnego rzędu tonów będzie albo taki sam jak pierwszy hexachord, albo będzie z-partner.

2.

Nieco dłuższa odpowiedź sugerowana przez znajomego spoza SE jest następująca: Uzupełnienie każdego klasa set o dowolnym rozmiarze (to znaczy klasa zestawu nut pozostałych ze wszystkich 12 możliwości w tradycyjnym zachodnim systemie po usunięciu nut z oryginalnego zestawu) będzie zawsze taka sama, niezależnie od konkretnych nut. Na przykład nuty D, D #, F #, G # - członek tetrachordu wszystkich interwałów (0146) - ma dopełnienie C, C #, E, F, G, A, A #, B, członek (01234689) . Zupełnie innym członkiem (0146) byłby G, A, C, C #; ale jego uzupełnienie - D, D #, E, F, F #, G #, A #, B - nadal należy do elementu (01234689).

Oczywiście to nadal będzie obowiązywać w przypadku heksachordów. Gdy masz już pierwszy hexachord z tradycyjnej serii 12-tonowej, pozostały heksachord jest z definicji uzupełnieniem pierwszego. Jedyne, co pozostaje do udowodnienia pierwotnej hipotezy, to fakt, że dopełnieniem dowolnego heksachordu jest albo on sam, albo jego partner z, co można zweryfikować, patrząc na dowolną listę heksachordów, taką jak ta w dodatku do Wprowadzenie do Strausa Teoria post-tonalna .

3.

Nieco bardziej formalny dowód Stevena K. Blau został dostarczony w linku autor: Micah, cały artykuł jest tutaj: http://www.maa.org/sites/default/files/269122711809.pdf

Przedstawię krótkie podsumowanie. Jeśli wybierzemy dowolny heksachord, nazwijmy go A, to implikuje on komplementarny heksachord (B), który oznacza jego zakończenie w rzędzie tonów. Możemy wyobrazić sobie te dwa heksachordy na diagramie tarczy zegara, w ten sposób:

_B ^A _{A
B B
A A
B A
B B}
^A

Teraz wyobrażamy sobie zmianę jednego nut A z jedną z nut B, zmienię pozycje na godzinie 2 i 3.

_B ^A _{A
B A
A} ^{⤹ sup> _B ⤣
_{B A
B B}
A}

Jedyne zmiany międzywarstwowe w A będą odpowiadały identycznym zmianom międzywarstwowym w B. Na przykład notatka A to, co kiedyś było na godzinie 3, znajdowało się 3 półtony od nuty A na godzinie 12, ale teraz jest już tylko 2. Zmienia to zawartość interwału składowego A hexachord, ale jednocześnie zmieniliśmy Hexachord B w ten sposób, że nuta B, która była na godzinie 2, była również 3 półtony od nuty B na godzinie 5, a teraz jest tylko 2 z dala. Innymi słowy, w tym samym czasie, gdy zmieniliśmy jeden z przedziałów w A z IC3 na IC2, dokładnie w ten sam sposób zmieniliśmy również jeden z przedziałów w B. Artykuł pod tym linkiem obejmuje wszystkie możliwości (chociaż myślę, że autor przypadkowo odwraca n +1 i n w jednym miejscu)

Dlatego interwał zawartość dwóch heksachordów będzie zawsze taka sama bez względu na wszystko, co jest po prostu innym sposobem na powiedzenie, że dyskretne heksachordy w dowolnym wierszu będą albo tą samą klasą zbioru, albo będą związane z. QED

Tak, to prawda. W biznesie nazywamy to twierdzeniem o kombinatoryczności heksachordalnej. Można to udowodnić matematycznie, ale nie mogę (bez ponownego przeżycia traumatycznych doświadczeń ze szkoły wyższej) zrobić tego za Ciebie tutaj. :)