Rycina w artykule w Wikipedii mówi ci, o co pytasz, jeśli chcesz zestawić odchylenia, czytając zieloną linię.

Oś pionowa to ilość groszy, o jaką dostrojony jest klucz od jednakowego temperamentu, np C dwie oktawy powyżej A440 (C7) jest ostra o około 10 centów, tj. częstotliwość jest współczynnikiem 2 ^10/1200 ostrych lub rzeczywista częstotliwość wynosi

 f = 440 * 4 * 2  3/12  * 2  10/1200  = 2105,13 Hz 

(uwaga: równo odpuszczane C7 to 2093 Hz)

Czynnikiem jest:

1. częstotliwość odniesienia strojenia 440 Hz,
2. przejdź o dwie oktawy w górę, współczynnik 4
3. przejdź w górę 3 półtony, współczynnik 2 ^3/12
4. zastosować korektę strojenia, współczynnik 2 ^10/12000

Gdyby zielona linia była płaska na poziomie zera, wszystkie klawisze byłyby dostrojone do jednakowego temperamentu.

Tak, masz rację, „prawdziwe” częstotliwości będą się różnić w zależności od fortepianu.

Oprócz odpowiedzi już tu podanych, chciałbym dodać więcej informacji dotyczących nieharmoniczności . Wielkość przesunięcia lub „rozciągniętego strojenia” strun fortepianu akustycznego zależy od rozmiaru i typu fortepianu. Będzie inaczej w przypadku fortepianu typu spinet, pionowego, fortepianu dziecięcego, fortepianu lub fortepianu koncertowego. Nie ma więc jednej ścisłej formuły dla wszystkich fortepianów akustycznych.

Dyskusja na temat rozciągniętego strojenia i nieharmoniczności w Wikipedii.

W artykule na temat fortepianu Po dostrojeniu w Wikipedii znajdujemy następujący cytat:

Wielkość rozciągania [w wysokości tonu] niezbędna do osiągnięcia tego jest funkcją skalowania ciągów , a złożone określenie w oparciu o napięcie, długość i średnicę struny.

Przy różnych rozmiarach fortepianów, o których wspomniałem powyżej, każdy inny rodzaj fortepianu będzie miał inny zestaw strun z różnymi zestawami długości, grubości struny rdzenia i grubości zwojów na strunach basowych. Skutkuje to różnym napięciem strun używanych do wytworzenia danej wysokości, pomiędzy różnymi markami, modelami i rozmiarami fortepianów. Ponownie pokazuje to, że nie ma jednej uniwersalnej listy prawdziwych częstotliwości dla pianina akustycznego.

Profesjonalny stroiciel fortepianów wie, że wymagane strojenie będzie się różnić w zależności od każdy fortepian, z którym pracuje. Strojenie każdego pianina akustycznego jest czasochłonnym i interaktywnym procesem i nie zależy całkowicie od ustalonego zestawu dokładnych wysokości lub częstotliwości.

Czy zadajesz to pytanie, ponieważ piszesz syntezator? Tego rodzaju szczegóły pomogą w uzyskaniu odpowiedzi ...

Jeśli pracujesz na prostym syntezatorze subtraktywnym opartym na próbkach, regulacja częstotliwości jest już wykonana za Ciebie przez zestaw próbek, mieć. Więc jeśli nie próbujesz przeprowadzić syntezy modelowania fizycznego, możesz zignorować przesunięcie.

Pytanie jest w rzeczywistości samobójcze. Problem polega na tym, że powodem, dla którego fortepian jest rozciągnięty w pierwszej kolejności, jest dysharmoniczność, co oznacza, że ​​fale sinusoidalne składające się na różne harmoniczne poruszające się po samej strunie są nie zwykłymi wielokrotnościami podstawy.

W rezultacie sygnał złożony jako całość nie jest nawet okresowy, więc mówienie o jego „częstotliwości” jest nieco mylące. Oczywiście najsilniejszym składnikiem będzie podstawowa fala sinusoidalna pochodząca z drgań w najprostszym trybie strun, ale jeśli powtórzysz próbkowany sygnał na tej częstotliwości, dysharmoniczność zostanie zastąpiona artefaktami granicznymi, a powstałe harmoniczne będą się chwiać.

W przypadku zadania tego pytania w kontekście syntezy dźwięku: będziesz potrzebować kilku oscylatorów na klawisz na różnych częstotliwościach, aby właściwie zarządzać dysharmonią.

Jeśli utworzysz prawdziwie okresowy sygnał z tylko jedną częstotliwością do syntezy, rozciągnięte strojenie będzie bezcelowe.

Jak przyznaje samo pytanie, nie ma „prawdziwej” matematycznej odpowiedzi na to pytanie, ponieważ najlepsze strojenie różnią się w zależności od fortepianu. Ale można użyć wzoru zawierającego wyraz kwadratowy, aby uzyskać pewne przybliżenie krzywej Railsback. Dlatego prawdopodobnie pasuje bardziej do większości fortepianów niż byłby taki sam temperament.

Źródło: Oryginalne badania. (Jestem muzykiem-amatorem z dyplomem matematycznym.) Poprawki są mile widziane.

• Założenie nr 1: oktawa wokół środkowego C (lub C4) jest z grubsza równomiernie temperowana.
• Założenie nr 2: ze względu na nieharmoniczność strun każda oktawa powyżej lub poniżej środkowego C powinna być „rozciągnięta” przyrostowo szersza niż poprzednia oktawa.

Zdefiniuj „współczynnik rozciągania” s w półtonach na oktawę. Następnie każda nuta n , w półtonach powyżej środkowego C, powinna być dostrojona (s / 2) (n / 12) ^ 2 półtony ostrzejsze niż jednakowego temperamentu (i każda nuta poniżej środkowe C bardziej płaskie o tę samą wartość).

W przypadku mojego fortepianu współczynnik rozciągnięcia wynoszący s = 0,05 półtonu (lub 5 centów) wydaje się działać dobrze. Innymi słowy, oktawa wokół C5 zostanie dostrojona o 5 centów szerzej niż o równym temperamencie, oktawa wokół C6 zostanie dostrojona o 10 centów szerzej i tak dalej. Korzystając z powyższego wzoru, stwierdzamy, że każde C powyżej i poniżej środkowego C powinno być dostrojone w następujący sposób:

  C5: 2,5 centa (5/2) C6: 10 centów (5 + 10 / 2) C7: 22,5 centów (5 + 10 + 15/2) C8: 40 centów (5 + 10 + 15 + 20/2)  

A teraz jak możemy częstotliwości z tego?

W strojeniu o równym temperamencie częstotliwość nuty n to x = C4 * 2 ^ (n / 12) Hz. Dodając nasz człon dostosowawczy, otrzymujemy x = C4 * 2 ^ ((n + (s / 2) (n / 12) ^ 2) / 12) Hz. (Uwagi poniżej środkowego C powinny być płaskie, a nie ostre, więc odejmij okres korekty zamiast go dodawać).

W przypadku stroju koncertowego (A = 440 Hz) prawidłowa częstotliwość dla środkowego C zależy od wyboru współczynnika rozciągnięcia s . Podstaw x = 440 Hz i n = 9 półtonów w powyższym wzorze, a następnie znajdź C4. Dla s = 0,05 prawidłowa częstotliwość to 261,41 Hz.

Podłączając tę ​​wartość dla C4 z powrotem do wzoru, możemy obliczyć:

  C1: 32,25 Hz (bardziej płaskie niż ET przy 32,70 Hz) C2: 64,98 Hz (bardziej płaskie niż ET @ 65,41 Hz) C3: 130,52 Hz (bardziej płaskie niż ET @ 130,81 Hz) C4: 261,41 Hz (bardziej płaskie niż ET @ 261,63 Hz) C5 : 523,58 Hz (ostrzejszy niż ET przy 523,25 Hz) C6: 1051,71 Hz (ostrzejszy niż ET przy 1046,50 Hz) C7: 2118,66 Hz (ostrzejszy niż ET przy 2093,00 Hz)  

I tak dalej.

Aby rozwinąć kwestię, która moim zdaniem jest ważna, a powód, dla którego uważam, że uczenie się częstotliwości jest częściowo bezużyteczny:

Jak powiedział supercat w swoim komentarzu @ Dave w odpowiedzi, każda struna będzie wibrować na wielu częstotliwościach .
Tryb fizyka włączony:
Teoretycznie, jeśli struna została wykonana z idealnie elastycznego materiału (jak zakładają na lekcjach fizyki), wibrowałaby z nieskończenie wieloma częstotliwościami, ale siła każdej częstotliwości szybko staje się bardzo mała, do tego stopnia, że ​​zaangażowana jest tylko ograniczona ilość energii.
Wyłączony tryb fizyka.

Teraz jest ważny bit: te dodatkowe częstotliwości są niezbędne w brzmieniu instrumentów muzycznych. Zasadniczo są one powodem, dla którego słychać różnicę między skrzypcami i fortepianem grającymi na formacie A4.

Polecałbym słuchać czystej sinusoidy o częstotliwości 440 Hz, np. tutaj:

Ta tabela przedstawia częstotliwość wszystkich nut:

Jako odniesienie, 60 midi number = środkowe C na fortepianie.

Fortepian ma oddzielne struny dla każdej nuty. Więc fakt, że A jest inny, niekoniecznie oznacza, że ​​inne nie są dostrojone do 440. W zależności od tego, co zrobił tuner.

Czy w takim razie pytasz: jeśli chcę nastroić cały fortepian, aby powiedzieć 420 (A), jak zmieniają się inne częstotliwości? W takim przypadku możesz użyć wzoru, jak podano tutaj:

  fn = f0 * (a) nwheref0 = częstotliwość jednej ustalonej nuty, którą należy zdefiniować . Powszechnym wyborem jest ustawienie A powyżej środkowego C (A4) na f0 = 440 Hz. Ale w tym przypadku może to być 420.n = liczba kroków oddalonych o pół kroku od ustalonej nuty, którą jesteś. Jeśli masz wyższą nutę, n jest dodatnie. Jeśli jesteś na niższej nucie, n jest ujemne. Fn = częstotliwość nuty n oddalonej o pół kroku. A = (2) 1/12 = dwunasty pierwiastek z 2 = liczba, która po pomnożeniu przez siebie 12 razy daje 2 = 1,059463094359 ... Długość fali dźwięku dla nut jest określana na podstawie wzoru: Wn = c / fn, gdzie W jest długością fali, a c jest prędkością dźwięku. Szybkość dźwięku zależy od temperatury, ale wynosi około 345 m / sw „temperaturze pokojowej”. 

Aby poznać więcej szczegółów i zrozumieć muzykę i częstotliwości, proponuję zapoznać się z doskonałą (open source) książką Davida J. Bensona, dostępną tutaj.

Odnośnie:

Może mógłbyś podać mi tylko ogólne pojęcie, jaki może być zakres częstotliwości dla każdego klucza?

Mam nadzieję to jest jasne. Weź pewien zakres dla A (powiedzmy 420-460), a będziesz w stanie obliczyć z niego wszystkie zakresy. może możesz podać mi ogólne pojęcie, jaki może być zakres częstotliwości dla każdego klawisza?